... коснемся вопроса, как изменяется стоимость ценной бумаги или стоимость портфеля за k периодов времени (t,t+dt),(t+dt,t+2dt), ... ,(t+(k-1)dt,t+kdt). Еще раз подчеркнем, что приводимый ниже материал - это несколько примеров. Все они носят очень упрощенный характер и не претендуют на роль исчерпывающего анализа многопериодной задачи.

Если речь идет о портфеле, то мы считаем, что его состав не изменится с момента времени t до момента времени (t+kdt). Введем случайные величины G[1],G[2],...,G[k]. G[j] - это доходность рассматриваемой ценной бумаги или рассматриваемого портфеля за период времени (t+(j-1)dt,t+jdt), j=1,2,...,k.

Раньше мы обозначали доходность через R. в этом параграфе нам удобнее изменить обозначение.

Определим случайную величину G=[(1+G[1])(1+G[2])...(1+G[k])]^(1/k)-1 которую мы назовем темпом роста капитала.

Поясним данное определение. Пусть g,g[1],g[2],...,g[k] - значения, принимаемые случайными величинами G,G[1],G[1],...,G[k]. Если стоимость рассматриваемой ценной бумаги или портфеля в момент времени t равна S[t], то чему будет равна стоимость этой ценной бумаги или портфеля S[t+kdt] в момент времени (t+kdt)?

Допустим, что для каждого i (1=<j=<k) доход D, полученный от владения ценной бумагой в период времени (t+(k-1)dt,t+kdt), равен нулю. Тогда

S[t+kdt]=S[t](1+g[1])(1+g[2])...(1+g[k]).

Если бы доходность для каждого из k периодов равнялясь одному и томуже числу g, то при каком значении g была бы получена та же стоимость ценной бумаги или портфеля S[t+kdt]? Для этого нужно, чтоб выполнялось равенство

(1+g)^k=(1+g[1])(1+g[2])...(1+g[j])

Исходя из полученной формулы и дано определение случайной величины G.

Будем считать, что все случайные величины G[1],G[1],...,G[k] имеют одинаковые метематические ожидания и дисперсии. Позднее мы сделаем прадположение, что эти случайные величины еще и независимы. Посмотрим, как связан тепм роста капитала с математическим ожиданием и дисперсией случайных величин G[1],G[1],...,G[k]. Введем обозначения

E=E(G[1])=E(G[2])=...=E(G[k]), s^2=D(G[1])=...=(G[k]). (7.1)

Найдем приближенное выражение для log(1+G) (log - это логарифм по поснованию e). Имеем

log(1+G)=(log(1+G[1])+log(1+G[2])+...+log(1+G[k]))1/k

Воспользовавшись при j=1,2,...,k формулой Тейлора и отбросив члены третьего и более высоких порядков малости, получаем log(1+G) приблизительно равно G[j]-0.5G[j]^2. Отсюда

log(1+G)=(G[1]+G[2]+...+G[k])1/k-0.5(G[1]^2+G[2]^2+...+G[k]^2)1/k

Считая G>-1, введем функцию полезности

U(G)=log(1+G)

Эта функция является монотонно возрастающей и вогнутой. Имеем

E(U(G)) прибл.равно (E(G[1])+E(G[2])+...+E(G[k]))1/k-0.5(E(G[1]^2)+E(G[2]^2)+...+E(G[k]^2))1/k

Воспользуемся тем, что

E(U(G[j]^2)) прибл.равно E(G[j])^2+D(G[j]), j=1,2,...,k

При помощи (7.1) получаем

E(U(G)) прибл.равно E-0.5E^2-0.5D(G[j])

Функция E-0.5E^2 является монотонно возрастающей при E не больше 1. Поэтому из полученной формулы можно сделать вывод о том, что темп прироста капитала возрастает с возрастанием ожидаемой доходности за один период E. Этот вывод, конечно, не является неожиданным. Из это формулы можно также сделать вывод, что темп роста капитала убывает с возрастанием риска s. Этот вывод является менее очевидным ...

... Остановимся на случае k=2. Пусть g[1]=r+y, g[1]=r-y. Тогда

g=sqrt((1+g[1])(1+g[2]))-1=sqrt((1+r)^2-y^2)-1

Мы приходим к тем же выводам, что и раньше: g возраставет с возрастанием r и убывает с возрастанием y....

Давайте назовем следующую систему «Система А». Она состоит из 2 сделок: первая выигрывает 50%, вторая проигрывает 40%. Если мы не реинвестируем прибыль, то выигрываем 10%, если реинвестируем, та же последовательность сделок дает проигрыш 10%.



Теперь давайте посмотрим на систему В (выигрыш 15% и проигрыш 5%), которая так же, как и система А, приносит 10% за 2 сделки при отсутствии реинвестирования. Но посмотрите на результаты системы В при реинвестировании: в отличие от системы А она зарабатывает деньги



Очевидно, что последовательность сделок не влияет на окончательный результат, неважно, используем мы реинвестирование или нет. Одним из плюсов при торговле на основе реинвестирования является то, что проигрыши обычно сглаживаются. Когда система входит в период проигрышей, за каждой проигрышной сделкой следует сделка с меньшим количеством контрактов.



На первый взгляд кажется, что лучше торговать без реинвестирования, так как в этом случае вероятность выигрыша больше. Однако это неправильное утверждение, так как в реальной торговле мы не забираем все прибыли и не покрываем все наши убытки, добавляя средства на счет. Более того, природа инвестирования или торговли основана на смешивании исходных и полученных в результате торговли средств. Если мы не производим этого смешивания (как в случае отсутствия реинвестирования), то не можем надеется на значительное увеличение капитала.

Если система достаточно эффективна, то прибыли, полученные на основе реинвестирования, будут намного больше прибылей, полученных без инвестирования.